Julia 学习笔记——线性代数

数组是 Julia 的核心内容之一，而线性代数则是它真正发力的主场。虽然前面的数组笔记已经涉及了一些矩阵和广播，但如果不单独整理一篇，很多线性代数语义还是容易和“普通数组运算”混在一起。

概述

Julia 的线性代数体验和 Python/Numpy、MATLAB 既相似又不同：

和 MATLAB 一样，矩阵乘法直接使用 *；
和 Python/Numpy 一样，元素访问写成 A[i, j]；
但 Julia 的标准库 LinearAlgebra 还引入了很多特殊矩阵类型和分解对象，它们不是简单的“二维数组”。

因此看 Julia 里的线性代数代码时，需要同时区分：

这是普通数组操作；
还是线性代数意义上的操作；
结果是立即物化的数组，还是带语义的特殊对象。

`LinearAlgebra` 标准库

线性代数相关功能主要来自标准库：

1	using LinearAlgebra

它不是默认自动导入的，但属于 Julia 自带标准库，不需要额外安装。

向量与矩阵

创建

1 2	x = [1, 2, 3] # Vector A = [1 2 3; 4 5 6] # Matrix

这里要特别注意：Julia 的 Vector 是真正的一维数组，而不是 MATLAB 那种伪装成矩阵的行向量/列向量。

尺寸

size(x) # (3,)
size(A) # (2, 3)
ndims(x) # 1
ndims(A) # 2

基本线性代数运算

矩阵乘法

A = [1 2; 3 4]
B = [5 6; 7 8]

A * B

这和 MATLAB 相同，但和 Numpy 不同。Numpy 中 * 默认是逐元素乘法，Julia 里 * 默认就是线性代数乘法。

向量内积

常见做法：

x = [1, 2, 3]
y = [4, 5, 6]

dot(x, y) # 32

虽然也可以写某些转置乘法形式，但日常更推荐直接用 dot，语义最清楚。

逐元素运算

如果想做逐元素乘法，仍然要使用点语法：

1 2	x .* y A .* B

不要把线性代数乘法和逐元素乘法混在一起。

转置与共轭转置

`'`

在 Julia 里：

A'

表示 adjoint，也就是实数情形下的转置、复数情形下的共轭转置。

这和 MATLAB 的 ' 非常接近。

`transpose`

如果只想做单纯转置，不希望共轭参与，更适合显式使用：

1	transpose(A)

对于复数矩阵，这一点尤其需要注意。

`adjoint`

也可以直接写：

1	adjoint(A)

这比单独写 ' 更明确。

单位矩阵与特殊矩阵

`I`

Julia 提供了一个很特别的单位矩阵对象：

它不是普通的稠密矩阵，而是 UniformScaling 对象。

例如：

1 2	A = [1 2; 3 4] A + I

如果需要具体尺寸的矩阵，可以显式构造：

1	Matrix(I, 3, 3)

`Diagonal`

1	D = Diagonal([1, 2, 3])

这不是普通 Matrix，而是带结构信息的对角矩阵类型。

三角矩阵

1 2	U = UpperTriangular([1 2; 3 4]) L = LowerTriangular([1 2; 3 4])

这些类型保留了矩阵结构信息，后续求解和分解时往往更高效。

线性方程组

反斜杠 `\`

Julia 中求解线性方程组最常见的写法是：

A = [3.0 1.0; 1.0 2.0]
b = [9.0, 8.0]

x = A \ b

这表示求解：

A * x = b

这和 MATLAB 的 \ 写法非常接近。

重要的是：通常不建议先求逆再相乘。也就是不要轻易写成：

1	inv(A) * b

无论是数值稳定性还是性能，通常都不如直接 A \ b。

范数与迹

`norm`

1 2	norm([3, 4]) # 5.0 norm(A)

默认通常是 2-范数或 Frobenius 范数，具体取决于对象类型。

`tr`

矩阵迹：

1	tr([1 2; 3 4]) # 5

行列式与秩

1 2	det(A) rank(A)

这些接口都比较直接，但要注意：

浮点数情形下，秩和奇异性判断都依赖数值阈值；
不要把它们想成完全符号意义上的精确数学对象。

特征值与特征向量

1 2	vals = eigvals(A) E = eigen(A)

eigen(A) 返回的不只是向量，还包括特征值和特征向量等信息。

例如：

1 2	E.values E.vectors

矩阵分解

Julia 在线性代数里一个很有代表性的设计是：分解结果通常不是直接返回若干裸数组，而是返回带语义的分解对象。

LU 分解

F = lu(A)

可以访问：

1
2
3

F.L
F.U
F.p

QR 分解

F = qr(A)

Cholesky 分解

适用于对称正定矩阵：

1	F = cholesky(A)

SVD

F = svd(A)
F.U
F.S
F.Vt

这些对象风格和 MATLAB、Numpy 都略有不同，但一旦适应之后会觉得很自然，因为它们把“分解结果是一个对象”这件事表达得更完整。

结构矩阵与惰性语义

Julia 很强调“保留结构信息”。

例如：

对角矩阵不是普通稠密矩阵；
三角矩阵不是普通稠密矩阵；
单位矩阵 I 甚至连尺寸都可以按上下文推断。

这意味着：

代码语义更清晰；
某些操作不需要立刻物化完整矩阵；
性能和内存通常也更有优势。

广播与线性代数不要混淆

这是初学 Julia 线性代数时很容易犯错的地方。

例如：

A * B      # 线性代数乘法
A .* B     # 逐元素乘法

A ^ 2      # 矩阵幂
A .^ 2     # 逐元素平方

这套区分和 MATLAB 很像，但如果来自 Python/Numpy，就必须反复提醒自己。

小结

Julia 的线性代数写法有几个地方很像 MATLAB，但真正用起来又比 MATLAB 更强调对象语义和结构信息。*、\、' 这些操作不能按普通数组运算去理解，LinearAlgebra 里很多结果也不只是“返回一个数组”，而是返回带结构的对象，这一点需要尽快适应。