星期算法 | Fenglielie

学习一下如何根据指定的年月日快速计算星期几，由于公历的规律性很强，将所有规律整理并不断简化就可以得到这种简便算法，有很多不同的变形算法，例如蔡勒公式，康威裁决日算法等，本文主要学习蔡勒公式。

公历

简要回顾一下公历：每年12个月，每个月可能有28、29、30、31天。
区分普通的年和闰年，非闰年有365天，闰年有366天，年份满足以下情况时为闰年：

年份除以100的余数不为0，除以4的余数为0
年份除以100的余数为0，并且除以400的余数为0

非闰年的12个月的天数依次为：

28天：2月
30天：4月、6月、9月、11月
31天：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月

闰年的12个月的天数依次为：

29天：2月
30天：4月、6月、9月、11月
31天：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月

由于公历于1582年10月正式建立，在这段时间以及更早的年份可能存在日期修正，细节比较复杂，不作讨论。

蔡勒公式

公式如下
$$
w = \left(
y + \left[ \frac{y}4 \right]
+ \left[ \frac{c}4 \right]
- 2 c
+ \left[ \frac{13(m+1)}{5} \right]
+ d - 1
\right) \mod 7
$$

其中：

$w$: 计算得到的星期几，取值范围是 $0 - 6$，对应星期日到星期六
$c$: 年份除以100的商，也就是年份的前两位数
$y$: 年份除以100的余数，也就是年份的后两位数
$m$：月份，注意取值范围为 $3 - 14$，也就是说某年的 1 月和 2 月被视作前一年的 13 月和 14 月。
$d$：日

例如：2006年4月4日，代入公式计算
$$
\begin{aligned}
w ={}& \left(
y + \left[ \frac{y}4 \right]
+ \left[ \frac{c}4 \right]
- 2 c
+ \left[ \frac{13(m+1)}{5} \right]
+ d - 1
\right) \mod 7 \
={}& \left(
6 + \left[ \frac{6}4 \right]
+ \left[ \frac{20}4 \right]
- 2 * 20
+ \left[ \frac{13 * (4+1)}{5} \right]
+ 4 - 1
\right) \mod 7 \
={} & (-12) \mod 7 \
={} & 2
\end{aligned}
$$
因此是星期二。

例如：2025年4月6日，代入公式计算
$$
\begin{aligned}
w ={}& \left(
y + \left[ \frac{y}4 \right]
+ \left[ \frac{c}4 \right]
- 2 c
+ \left[ \frac{13(m+1)}{5} \right]
+ d - 1
\right) \mod 7 \
={}& \left(
25 + \left[ \frac{25}4 \right]
+ \left[ \frac{20}4 \right]
- 2 * 20
+ \left[ \frac{13 * (4+1)}{5} \right]
+ 6 - 1
\right) \mod 7 \
={} & 14 \mod 7 \
={} & 0
\end{aligned}
$$
因此是星期日。

代码实现

在编程实现时，需要注意使用的整除对负数的处理，因为计算结果可能是负数，模7运算需要保证结果为0-6。

具体代码非常简单，几行代码即可

def weekday_str(year, month, day):
    if month < 3:
        month += 12
        year -= 1

    c = year // 100
    y = year % 100
    m = month
    d = day

    w = (y + y // 4 + c // 4 - 2 * c + (13 * (m + 1)) // 5 + d - 1) % 7

    days = [
        "Sunday",
        "Monday",
        "Tuesday",
        "Wednesday",
        "Thursday",
        "Friday",
        "Saturday",
    ]
    return days[w]

例如

1 2	weekday_str(2025, 4, 6) # 'Sunday'

简单的理解

由于公历的置闰规律很明确，不考虑计算效率的前提下，算法的思路其实是非常清晰的：

找一个理想的基准日期，已知当天的星期，最好是星期天
计算当前日期与基准相差的天数
将相差的天数对 7 取模，就可以知道当前日期是星期几

由于2月的天数频繁变动，非常不好处理，最好从3月开始计算，将2月放在最后。

然后可以从这个直观的算法开始，不断寻找规律，简化运算，就可以得到优化后的算法了。